Cách Sử Dụng Cụm Từ “Abelian Group”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cụm từ “Abelian group” – một khái niệm quan trọng trong đại số trừu tượng, thường được dịch là “nhóm Abel”. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng trong ngữ cảnh toán học, cùng hướng dẫn chi tiết về định nghĩa, cách dùng, tính chất, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “Abelian group” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “Abelian group”

“Abelian group” có một vai trò chính:

• Danh từ: Nhóm Abel (một nhóm mà phép toán hai ngôi thỏa mãn tính giao hoán).

Dạng liên quan: “Abelian” (tính từ – thuộc về Abel).

Ví dụ:

• Danh từ: This is an Abelian group. (Đây là một nhóm Abel.)
• Tính từ: Abelian category. (Phạm trù Abel.)

2. Cách sử dụng “Abelian group”

a. Là danh từ

1. “An Abelian group” / “The Abelian group”
   Dùng để chỉ một nhóm cụ thể là nhóm Abel.
   Ví dụ: Show that this is an Abelian group. (Chứng minh rằng đây là một nhóm Abel.)
2. Tính từ + Abelian group
   Dùng để mô tả nhóm Abel có tính chất cụ thể.
   Ví dụ: Finite Abelian group. (Nhóm Abel hữu hạn.)

b. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ	Abelian group	Nhóm Abel (nhóm giao hoán)	This is an Abelian group under addition. (Đây là một nhóm Abel với phép cộng.)
Tính từ	Abelian	Thuộc về Abel, có tính giao hoán	Abelian category is a fundamental concept. (Phạm trù Abel là một khái niệm cơ bản.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “Abelian group”

• Finite Abelian group: Nhóm Abel hữu hạn.
  Ví dụ: The fundamental theorem of finite Abelian groups. (Định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn.)
• Free Abelian group: Nhóm Abel tự do.
  Ví dụ: The rank of a free Abelian group. (Hạng của một nhóm Abel tự do.)
• Torsion-free Abelian group: Nhóm Abel không xoắn.
  Ví dụ: Every torsion-free Abelian group of finite rank is free. (Mọi nhóm Abel không xoắn có hạng hữu hạn đều là tự do.)

4. Lưu ý khi sử dụng “Abelian group”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Đại số trừu tượng: Thường dùng trong các bài toán, định lý và chứng minh liên quan đến nhóm.
  Ví dụ: The set of integers forms an Abelian group under addition. (Tập hợp các số nguyên tạo thành một nhóm Abel dưới phép cộng.)

b. Phân biệt với các khái niệm liên quan

• “Abelian group” vs “Non-Abelian group”:
  – “Abelian group”: Nhóm có tính giao hoán.
  – “Non-Abelian group”: Nhóm không có tính giao hoán.
  Ví dụ: The symmetric group S3 is a non-Abelian group. (Nhóm đối xứng S3 là một nhóm không Abel.)

5. Những lỗi cần tránh

1. Sử dụng “Abelian group” khi nhóm không giao hoán:
   – Sai: *This non-commutative group is Abelian.*
   – Đúng: This non-commutative group is not Abelian. (Nhóm không giao hoán này không phải là nhóm Abel.)
2. Không kiểm tra tính giao hoán trước khi kết luận là “Abelian group”:
   – Cần chứng minh a * b = b * a cho mọi a, b thuộc nhóm trước khi kết luận.

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Liên hệ: Nhớ rằng “Abelian” nghĩa là giao hoán (commutative).
• Thực hành: Chứng minh các nhóm quen thuộc (số nguyên, số thực với phép cộng) là Abelian.
• So sánh: Tìm các ví dụ về nhóm không Abelian (ví dụ: nhóm ma trận).

Phần 2: Ví dụ sử dụng “Abelian group” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The set of integers under addition forms an Abelian group. (Tập hợp các số nguyên với phép cộng tạo thành một nhóm Abel.)
2. Consider the Abelian group Z/nZ under addition modulo n. (Xét nhóm Abel Z/nZ với phép cộng modulo n.)
3. Prove that every cyclic group is an Abelian group. (Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic đều là một nhóm Abel.)
4. The direct product of two Abelian groups is also an Abelian group. (Tích trực tiếp của hai nhóm Abel cũng là một nhóm Abel.)
5. The Klein four-group is an example of a finite Abelian group. (Nhóm bốn Klein là một ví dụ về nhóm Abel hữu hạn.)
6. Let G be an Abelian group and H be a subgroup of G. Then H is also an Abelian group. (Cho G là một nhóm Abel và H là một nhóm con của G. Khi đó H cũng là một nhóm Abel.)
7. The group of units modulo a prime number p is an Abelian group. (Nhóm các đơn vị modulo một số nguyên tố p là một nhóm Abel.)
8. An example of a free Abelian group is the set of integers. (Một ví dụ về nhóm Abel tự do là tập hợp các số nguyên.)
9. The tensor product of two Abelian groups is an Abelian group. (Tích tensor của hai nhóm Abel là một nhóm Abel.)
10. Every finitely generated Abelian group is isomorphic to a direct sum of cyclic groups. (Mọi nhóm Abel sinh hữu hạn đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các nhóm cyclic.)
11. Character theory is especially useful for studying Abelian groups. (Lý thuyết đặc trưng đặc biệt hữu ích cho việc nghiên cứu các nhóm Abel.)
12. The Pontryagin dual of an Abelian group is another Abelian group. (Đối ngẫu Pontryagin của một nhóm Abel là một nhóm Abel khác.)
13. In an Abelian group, the order of the product of two elements is the least common multiple of their orders if the orders are relatively prime. (Trong một nhóm Abel, cấp của tích của hai phần tử là bội chung nhỏ nhất của cấp của chúng nếu các cấp nguyên tố cùng nhau.)
14. We can classify all finitely generated Abelian groups. (Chúng ta có thể phân loại tất cả các nhóm Abel sinh hữu hạn.)
15. Consider the additive group of real numbers as an Abelian group. (Xem xét nhóm cộng của các số thực như một nhóm Abel.)
16. The fundamental theorem of finitely generated Abelian groups is a cornerstone of group theory. (Định lý cơ bản của nhóm Abel sinh hữu hạn là một nền tảng của lý thuyết nhóm.)
17. The automorphism group of an Abelian group is not necessarily Abelian. (Nhóm tự đẳng cấu của một nhóm Abel không nhất thiết là một nhóm Abel.)
18. Studying Abelian groups often provides insights into more complex group structures. (Nghiên cứu các nhóm Abel thường cung cấp những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc nhóm phức tạp hơn.)
19. Abelian groups are easier to work with than non-Abelian groups due to their commutative property. (Nhóm Abel dễ làm việc hơn các nhóm không Abel do tính chất giao hoán của chúng.)
20. Use the decomposition theorem to understand the structure of a finite Abelian group. (Sử dụng định lý phân tích để hiểu cấu trúc của một nhóm Abel hữu hạn.)