Cách Sử Dụng Cấp Số Nhân (Geometric Progression)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm “cấp số nhân” (geometric progression) – một dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một hằng số. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng các công thức liên quan đến cấp số nhân, cùng hướng dẫn chi tiết về định nghĩa, công thức, cách tính tổng và các lưu ý quan trọng.
Phần 1: Hướng dẫn sử dụng Cấp Số Nhân và các lưu ý
1. Ý nghĩa cơ bản của “Cấp Số Nhân”
“Cấp số nhân” (geometric progression) là một dãy số mà trong đó:
- Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi, gọi là công bội.
Các dạng liên quan: “công bội” (common ratio), “số hạng đầu” (first term), “tổng của cấp số nhân” (sum of a geometric progression).
Ví dụ:
- Dãy số: 2, 4, 8, 16… (công bội là 2)
- Công bội: r = 2
- Số hạng đầu: a = 2
2. Cách sử dụng Cấp Số Nhân
a. Tìm số hạng thứ n
- Un = U1 * r^(n-1)
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có U1 = 3, r = 2: U5 = 3 * 2^(5-1) = 48
b. Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
- Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r) (r ≠ 1)
Ví dụ: Tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có U1 = 1, r = 3: S5 = 1 * (1 – 3^5) / (1 – 3) = 121 - Sn = n * U1 (r = 1)
Ví dụ: Tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có U1 = 5, r = 1: S5 = 5 * 5 = 25
c. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (|r| < 1)
- S = U1 / (1 – r)
Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có U1 = 1, r = 1/2: S = 1 / (1 – 1/2) = 2
d. Biến thể và cách dùng trong câu
| Thuộc tính | Ký hiệu | Ý nghĩa / Cách dùng | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| Số hạng đầu | U1 | Số hạng đầu tiên của cấp số nhân | U1 = 2 |
| Công bội | r | Tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp | r = 3 |
| Số hạng thứ n | Un | Số hạng thứ n của cấp số nhân | Un = U1 * r^(n-1) |
| Tổng n số hạng đầu | Sn | Tổng của n số hạng đầu tiên | Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r) |
Lưu ý: r ≠ 1 khi tính Sn bằng công thức Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r)
3. Một số cụm từ thông dụng với “Cấp Số Nhân”
- Tìm công bội (common ratio): Tìm r từ hai số hạng liên tiếp.
- Tính tổng cấp số nhân (calculate the sum of a geometric progression): Sử dụng công thức Sn.
- Cấp số nhân lùi vô hạn (infinite geometric progression): Cấp số nhân có |r| < 1.
4. Lưu ý khi sử dụng “Cấp Số Nhân”
a. Ngữ cảnh phù hợp
- Áp dụng: Bài toán lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ.
- Điều kiện: Phải xác định được dãy số có phải là cấp số nhân hay không (tức là có công bội không đổi).
b. Phân biệt với cấp số cộng
- Cấp số nhân: Các số hạng liên tiếp có tỷ số không đổi.
- Cấp số cộng: Các số hạng liên tiếp có hiệu không đổi.
c. Điều kiện của công bội
- Khi tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, công bội phải thỏa mãn |r| < 1.
5. Những lỗi cần tránh
- Tính sai công bội: Đảm bảo chia đúng thứ tự để tìm công bội.
- Sử dụng sai công thức tổng: Chọn đúng công thức tùy thuộc vào giá trị của r.
- Quên điều kiện |r| < 1 khi tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả
- Hình dung: Cấp số nhân như sự nhân lên hoặc chia nhỏ đi theo một tỷ lệ nhất định.
- Thực hành: Giải nhiều bài tập để làm quen với các công thức.
- Liên hệ thực tế: Tìm các ví dụ về cấp số nhân trong cuộc sống hàng ngày.
Phần 2: Ví dụ sử dụng Cấp Số Nhân và các dạng liên quan
Ví dụ minh họa
- Tìm số hạng thứ 7 của cấp số nhân có U1 = 5 và r = 2. (Find the 7th term of a geometric progression with U1 = 5 and r = 2.)
- Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có U1 = 3 và r = 3. (Calculate the sum of the first 8 terms of a geometric progression with U1 = 3 and r = 3.)
- Một cấp số nhân có số hạng đầu là 4 và công bội là 0.5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này. (A geometric progression has a first term of 4 and a common ratio of 0.5. Calculate the sum of this infinite geometric progression.)
- Nếu một cấp số nhân có U3 = 12 và U6 = 96, tìm số hạng đầu và công bội. (If a geometric progression has U3 = 12 and U6 = 96, find the first term and common ratio.)
- Tính tổng của cấp số nhân 2, 6, 18, …, đến số hạng thứ 5. (Calculate the sum of the geometric progression 2, 6, 18, …, to the 5th term.)
- Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân với U1 = 10 và r = 1.1. (Find the 10th term of a geometric progression with U1 = 10 and r = 1.1.)
- Một khoản đầu tư tăng trưởng theo cấp số nhân với tỷ lệ 10% mỗi năm. Nếu bạn đầu tư 1000 đô la, số tiền của bạn sẽ là bao nhiêu sau 5 năm? (An investment grows geometrically at a rate of 10% per year. If you invest $1000, how much money will you have after 5 years?)
- Tìm công bội của cấp số nhân nếu số hạng thứ 2 là 6 và số hạng thứ 4 là 24. (Find the common ratio of a geometric progression if the 2nd term is 6 and the 4th term is 24.)
- Nếu cấp số nhân có tổng của 3 số hạng đầu là 21 và công bội là 2, tìm số hạng đầu. (If a geometric progression has a sum of the first 3 terms equal to 21 and a common ratio of 2, find the first term.)
- Tính tổng của cấp số nhân 1, -1/2, 1/4, -1/8, … (Calculate the sum of the geometric progression 1, -1/2, 1/4, -1/8, …)
- Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân có U1 = -2 và r = -3. (Find the 6th term of a geometric progression with U1 = -2 and r = -3.)
- Tính tổng 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có U1 = 7 và r = 0.5. (Calculate the sum of the first 4 terms of a geometric progression with U1 = 7 and r = 0.5.)
- Một quả bóng rơi từ độ cao 10 mét và mỗi lần chạm đất nảy lên 2/3 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được. (A ball is dropped from a height of 10 meters and bounces to 2/3 of its previous height with each bounce. Calculate the total distance traveled by the ball.)
- Nếu một cấp số nhân có U2 = 8 và U5 = 64, tìm số hạng đầu và công bội. (If a geometric progression has U2 = 8 and U5 = 64, find the first term and common ratio.)
- Tính tổng của cấp số nhân 3, 6, 12, …, đến số hạng thứ 6. (Calculate the sum of the geometric progression 3, 6, 12, …, to the 6th term.)
- Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân với U1 = 4 và r = 1.2. (Find the 8th term of a geometric progression with U1 = 4 and r = 1.2.)
- Một quần thể vi khuẩn tăng trưởng theo cấp số nhân với tỷ lệ 20% mỗi giờ. Nếu ban đầu có 500 vi khuẩn, số lượng vi khuẩn sẽ là bao nhiêu sau 4 giờ? (A population of bacteria grows geometrically at a rate of 20% per hour. If there are initially 500 bacteria, how many bacteria will there be after 4 hours?)
- Tìm công bội của cấp số nhân nếu số hạng thứ 3 là 12 và số hạng thứ 5 là 48. (Find the common ratio of a geometric progression if the 3rd term is 12 and the 5th term is 48.)
- Nếu cấp số nhân có tổng của 4 số hạng đầu là 80 và công bội là 3, tìm số hạng đầu. (If a geometric progression has a sum of the first 4 terms equal to 80 and a common ratio of 3, find the first term.)
- Tính tổng của cấp số nhân 5, -5/3, 5/9, -5/27, … (Calculate the sum of the geometric progression 5, -5/3, 5/9, -5/27, …)
