Cách Sử Dụng Từ “Linear Combination”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cụm từ “linear combination” – một khái niệm toán học quan trọng, đặc biệt trong đại số tuyến tính. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng chính xác về ngữ pháp và có nghĩa, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, bảng biến đổi từ vựng, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “linear combination” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “linear combination”

“Linear combination” là một cụm danh từ mang nghĩa chính:

• Tổ hợp tuyến tính: Một biểu thức được xây dựng từ một tập hợp các số hạng bằng cách nhân mỗi số hạng với một hằng số và cộng các kết quả lại.

Dạng liên quan: Không có dạng biến đổi trực tiếp. Tuy nhiên, có các thuật ngữ liên quan như “linear” (tuyến tính), “combination” (tổ hợp), và các động từ như “combine linearly” (kết hợp tuyến tính).

Ví dụ:

• Cụm danh từ: This is a linear combination. (Đây là một tổ hợp tuyến tính.)
• Tính từ: Linear equation. (Phương trình tuyến tính.)
• Danh từ: Combination of vectors. (Tổ hợp của các vectơ.)

2. Cách sử dụng “linear combination”

a. Là cụm danh từ

1. A/The + linear combination + of + các phần tử
   Ví dụ: The linear combination of vectors. (Tổ hợp tuyến tính của các vectơ.)

b. Sử dụng trong mệnh đề

1. X is a linear combination of Y
   Ví dụ: v is a linear combination of u1, u2, and u3. (v là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2 và u3.)

c. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Cụm danh từ	linear combination	Tổ hợp tuyến tính	It is a linear combination. (Đó là một tổ hợp tuyến tính.)
Tính từ	linear	Tuyến tính	Linear transformation. (Phép biến đổi tuyến tính.)
Danh từ	combination	Tổ hợp	Combination of functions. (Tổ hợp các hàm.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “linear combination”

• Express as a linear combination: Biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính.
  Ví dụ: Express vector b as a linear combination of the columns of A. (Biểu diễn vectơ b dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột của A.)
• Non-trivial linear combination: Tổ hợp tuyến tính không tầm thường (ít nhất một hệ số khác 0).
  Ví dụ: A non-trivial linear combination equals zero. (Một tổ hợp tuyến tính không tầm thường bằng không.)
• Unique linear combination: Tổ hợp tuyến tính duy nhất.
  Ví dụ: There exists a unique linear combination. (Tồn tại một tổ hợp tuyến tính duy nhất.)

4. Lưu ý khi sử dụng “linear combination”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Đại số tuyến tính: Trong không gian vectơ, ma trận, và các phép biến đổi.
  Ví dụ: Linear combination of basis vectors. (Tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.)
• Giải hệ phương trình: Tìm nghiệm bằng cách kết hợp các phương trình.
  Ví dụ: Using linear combinations to solve the system. (Sử dụng các tổ hợp tuyến tính để giải hệ phương trình.)

b. Phân biệt với các khái niệm liên quan

• “Linear combination” vs “linear transformation”:
  – “Linear combination”: Một biểu thức cụ thể.
  – “Linear transformation”: Một hàm ánh xạ giữa các không gian vectơ.
  Ví dụ: A linear combination of vectors. (Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.) / A linear transformation preserves linear combinations. (Một phép biến đổi tuyến tính bảo toàn các tổ hợp tuyến tính.)

5. Những lỗi cần tránh

1. Sử dụng sai ngữ cảnh:
   – Sai: *This is a linear combination in calculus.* (Không chính xác khi dùng trong giải tích nếu không liên quan đến đại số tuyến tính.)
   – Đúng: This is a linear combination in linear algebra. (Đây là một tổ hợp tuyến tính trong đại số tuyến tính.)
2. Nhầm lẫn với các khái niệm khác:
   – Sai: *Linear combination is the same as matrix multiplication.*
   – Đúng: Linear combination is related to matrix multiplication. (Tổ hợp tuyến tính có liên quan đến phép nhân ma trận.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hình dung: “Linear combination” như “kết hợp các vectơ/phương trình theo cách tuyến tính”.
• Thực hành: Giải các bài tập tìm tổ hợp tuyến tính.
• Liên hệ: Liên hệ với các khái niệm liên quan như không gian vectơ, cơ sở, và hạng của ma trận.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “linear combination” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The vector (4, 7) is a linear combination of (1, 2) and (2, 1). (Vectơ (4, 7) là một tổ hợp tuyến tính của (1, 2) và (2, 1).)
2. We can express the polynomial 2x^2 + 3x – 5 as a linear combination of 1, x, and x^2. (Chúng ta có thể biểu diễn đa thức 2x^2 + 3x – 5 như một tổ hợp tuyến tính của 1, x, và x^2.)
3. The solution to a system of linear equations can often be found by taking linear combinations of the equations. (Nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thường có thể được tìm thấy bằng cách lấy các tổ hợp tuyến tính của các phương trình.)
4. In quantum mechanics, a state can be represented as a linear combination of basis states. (Trong cơ học lượng tử, một trạng thái có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở.)
5. Any vector in the span of a set of vectors can be written as a linear combination of those vectors. (Bất kỳ vectơ nào trong không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ đều có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ đó.)
6. Determining whether a set of vectors is linearly independent involves checking if the only linear combination that equals the zero vector is the trivial one. (Xác định xem một tập hợp các vectơ có độc lập tuyến tính hay không liên quan đến việc kiểm tra xem tổ hợp tuyến tính duy nhất bằng vectơ không có phải là tổ hợp tầm thường hay không.)
7. Fourier series represent periodic functions as a linear combination of sines and cosines. (Chuỗi Fourier biểu diễn các hàm tuần hoàn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của sin và cosin.)
8. The principle of superposition states that the response to several stimuli is the sum of the responses to each individual stimulus; this is a linear combination. (Nguyên lý chồng chất tuyên bố rằng phản ứng đối với một số kích thích là tổng của các phản ứng đối với từng kích thích riêng lẻ; đây là một tổ hợp tuyến tính.)
9. A weighted average is a type of linear combination where the coefficients sum to one. (Trung bình trọng số là một loại tổ hợp tuyến tính trong đó các hệ số cộng lại bằng một.)
10. Linear combinations are used extensively in machine learning, particularly in linear regression models. (Các tổ hợp tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong học máy, đặc biệt là trong các mô hình hồi quy tuyến tính.)
11. The vector (3, 4) can be written as a linear combination of the standard basis vectors (1, 0) and (0, 1). (Vectơ (3, 4) có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở chuẩn (1, 0) và (0, 1).)
12. Solving for the coefficients in a linear combination is a common task in linear algebra. (Giải cho các hệ số trong một tổ hợp tuyến tính là một nhiệm vụ phổ biến trong đại số tuyến tính.)
13. The concept of linear combination is fundamental to understanding vector spaces and their properties. (Khái niệm về tổ hợp tuyến tính là cơ bản để hiểu các không gian vectơ và các thuộc tính của chúng.)
14. In signal processing, signals are often decomposed into a linear combination of basis functions. (Trong xử lý tín hiệu, tín hiệu thường được phân tích thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở.)
15. Whether a vector lies within the span of other vectors is determined by whether it can be expressed as a linear combination of them. (Một vectơ có nằm trong không gian sinh bởi các vectơ khác hay không được xác định bởi việc nó có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của chúng hay không.)
16. The output of a linear filter is a linear combination of its inputs. (Đầu ra của một bộ lọc tuyến tính là một tổ hợp tuyến tính của các đầu vào của nó.)
17. Finding a basis for a vector space involves finding a set of linearly independent vectors that can be used to form any other vector in the space as a linear combination. (Tìm một cơ sở cho một không gian vectơ bao gồm việc tìm một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính có thể được sử dụng để tạo thành bất kỳ vectơ nào khác trong không gian đó như một tổ hợp tuyến tính.)
18. Linear combinations are used to define the concept of linear dependence and independence. (Các tổ hợp tuyến tính được sử dụng để xác định khái niệm về phụ thuộc và độc lập tuyến tính.)
19. In computer graphics, transformations like scaling, rotation, and translation can be represented as linear combinations of matrices. (Trong đồ họa máy tính, các phép biến đổi như chia tỷ lệ, xoay và tịnh tiến có thể được biểu diễn dưới dạng các tổ hợp tuyến tính của ma trận.)
20. Linear combinations play a crucial role in the study of eigenvalues and eigenvectors. (Các tổ hợp tuyến tính đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các giá trị riêng và vectơ riêng.)