Cách Sử Dụng “Linearly Independent”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cụm từ “linearly independent” – một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính, có nghĩa là “độc lập tuyến tính”. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng chính xác trong ngữ cảnh toán học, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, các khái niệm liên quan, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “linearly independent” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “linearly independent”

“Linearly independent” là một cụm tính từ mang nghĩa chính:

• Độc lập tuyến tính: Một tập hợp các vectơ mà không vectơ nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Dạng liên quan: “linear dependence” (phụ thuộc tuyến tính), “linear combination” (tổ hợp tuyến tính).

Ví dụ:

• Độc lập tuyến tính: The vectors are linearly independent. (Các vectơ độc lập tuyến tính.)
• Phụ thuộc tuyến tính: These vectors show linear dependence. (Các vectơ này thể hiện sự phụ thuộc tuyến tính.)
• Tổ hợp tuyến tính: Expressed as a linear combination. (Được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính.)

2. Cách sử dụng “linearly independent”

a. Là cụm tính từ

1. Vectors are/is + linearly independent
   Ví dụ: These vectors are linearly independent. (Các vectơ này độc lập tuyến tính.)

b. Là danh từ (linear independence)

1. Demonstrate/Prove + linear independence
   Ví dụ: Demonstrate the linear independence. (Chứng minh sự độc lập tuyến tính.)
2. Test for + linear independence
   Ví dụ: Test for linear independence. (Kiểm tra tính độc lập tuyến tính.)

c. Liên quan đến “linear combination”

1. No linear combination can equal zero
   Ví dụ: No non-trivial linear combination equals zero. (Không có tổ hợp tuyến tính khác không nào bằng không.)

d. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Cụm tính từ	linearly independent	Độc lập tuyến tính	The vectors are linearly independent. (Các vectơ độc lập tuyến tính.)
Cụm danh từ	linear independence	Sự độc lập tuyến tính	Prove the linear independence. (Chứng minh sự độc lập tuyến tính.)
Cụm danh từ	linear combination	Tổ hợp tuyến tính	A linear combination of vectors. (Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.)

Lưu ý: “Linearly independent” thường được sử dụng trong ngữ cảnh toán học, đặc biệt là đại số tuyến tính.

3. Một số cụm từ thông dụng với “linearly independent”

• Set of linearly independent vectors: Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.
  Ví dụ: This is a set of linearly independent vectors. (Đây là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.)
• Prove that they are linearly independent: Chứng minh rằng chúng độc lập tuyến tính.
  Ví dụ: We need to prove that they are linearly independent. (Chúng ta cần chứng minh rằng chúng độc lập tuyến tính.)
• Test for linear independence: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính.
  Ví dụ: Perform a test for linear independence. (Thực hiện một bài kiểm tra về tính độc lập tuyến tính.)

4. Lưu ý khi sử dụng “linearly independent”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Đại số tuyến tính: Vectơ, ma trận, không gian vectơ.
  Ví dụ: Linearly independent columns in a matrix. (Các cột độc lập tuyến tính trong một ma trận.)
• Phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính.
  Ví dụ: The solutions are linearly independent. (Các nghiệm độc lập tuyến tính.)

b. Phân biệt với từ liên quan

• “Linearly independent” vs “orthogonal”:
  – “Linearly independent”: Không vectơ nào là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.
  – “Orthogonal”: Các vectơ vuông góc với nhau.
  Ví dụ: Linearly independent vectors can be non-orthogonal. (Các vectơ độc lập tuyến tính có thể không trực giao.) / Orthogonal vectors are always linearly independent. (Các vectơ trực giao luôn độc lập tuyến tính.)
• “Linearly independent” vs “spanning”:
  – “Linearly independent”: Không dư thừa thông tin.
  – “Spanning”: Tạo ra toàn bộ không gian.
  Ví dụ: Linearly independent vectors form a basis. (Các vectơ độc lập tuyến tính tạo thành một cơ sở.) / Spanning vectors cover the entire space. (Các vectơ sinh bao phủ toàn bộ không gian.)

c. Điều kiện cần và đủ

• Một tập hợp các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không.

5. Những lỗi cần tránh

1. Nhầm lẫn với “linear dependence”:
   – Sai: *The vectors are linearly dependent, therefore they are linearly independent.*
   – Đúng: The vectors are either linearly dependent or linearly independent. (Các vectơ hoặc là phụ thuộc tuyến tính hoặc là độc lập tuyến tính.)
2. Không kiểm tra đủ điều kiện:
   – Sai: *They look linearly independent, so they are.*
   – Đúng: They need to be proven linearly independent. (Cần phải chứng minh chúng độc lập tuyến tính.)
3. Sử dụng sai ngữ cảnh:
   – Sai: *The data points are linearly independent in a statistical sense.* (Cần ngữ cảnh phù hợp.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hình dung: Không vectơ nào có thể được tạo ra từ các vectơ khác.
• Thực hành: Giải các bài tập chứng minh tính độc lập tuyến tính.
• Liên hệ: Với khái niệm cơ sở của không gian vectơ.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “linearly independent” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. These two vectors are linearly independent. (Hai vectơ này độc lập tuyến tính.)
2. We need to prove that these vectors are linearly independent. (Chúng ta cần chứng minh rằng các vectơ này độc lập tuyến tính.)
3. The columns of this matrix are linearly independent. (Các cột của ma trận này độc lập tuyến tính.)
4. Determine if the given vectors are linearly independent. (Xác định xem các vectơ đã cho có độc lập tuyến tính hay không.)
5. The linear independence of these functions is crucial. (Sự độc lập tuyến tính của các hàm này là rất quan trọng.)
6. The solutions to this differential equation are linearly independent. (Các nghiệm của phương trình vi phân này độc lập tuyến tính.)
7. Check whether these vectors are linearly independent. (Kiểm tra xem các vectơ này có độc lập tuyến tính hay không.)
8. The basis of this vector space consists of linearly independent vectors. (Cơ sở của không gian vectơ này bao gồm các vectơ độc lập tuyến tính.)
9. The set of vectors is linearly independent if and only if the determinant is non-zero. (Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức khác không.)
10. If the vectors are linearly independent, the null space contains only the zero vector. (Nếu các vectơ độc lập tuyến tính, không gian rỗng chỉ chứa vectơ không.)
11. Linear independence ensures that the solution is unique. (Sự độc lập tuyến tính đảm bảo rằng nghiệm là duy nhất.)
12. Understanding linear independence is fundamental to linear algebra. (Hiểu sự độc lập tuyến tính là cơ bản đối với đại số tuyến tính.)
13. Find a set of linearly independent vectors that span the subspace. (Tìm một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính bao phủ không gian con.)
14. The rank of the matrix indicates the number of linearly independent columns. (Hạng của ma trận cho biết số lượng các cột độc lập tuyến tính.)
15. These four vectors in R^4 are linearly independent. (Bốn vectơ này trong R^4 độc lập tuyến tính.)
16. Consider these linearly independent vectors as a basis for the vector space. (Xem xét các vectơ độc lập tuyến tính này như một cơ sở cho không gian vectơ.)
17. The eigenvalues corresponding to distinct eigenvectors are linearly independent. (Các giá trị riêng tương ứng với các vectơ riêng phân biệt là độc lập tuyến tính.)
18. Linear independence implies that no vector can be written as a linear combination of the others. (Sự độc lập tuyến tính ngụ ý rằng không vectơ nào có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.)
19. Demonstrate the linear independence of these polynomial functions. (Chứng minh sự độc lập tuyến tính của các hàm đa thức này.)
20. The dimension of the vector space is equal to the number of linearly independent vectors in a basis. (Số chiều của không gian vectơ bằng số lượng các vectơ độc lập tuyến tính trong một cơ sở.)