Cách Sử Dụng Từ “Nilradical”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá từ “nilradical” – một thuật ngữ toán học, cùng các dạng liên quan. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng (trong ngữ cảnh toán học) chính xác về ngữ pháp và có nghĩa, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, bảng biến đổi từ vựng (nếu có), và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “nilradical” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “nilradical”

“Nilradical” có các vai trò:

• Danh từ: (Trong đại số giao hoán) Nilradical của một vành là tập hợp tất cả các phần tử lũy linh của vành đó.

Ví dụ:

• The nilradical of a ring. (Nilradical của một vành.)

2. Cách sử dụng “nilradical”

a. Là danh từ

1. The nilradical of + danh từ
   Ví dụ: The nilradical of the ring R. (Nilradical của vành R.)
2. Nilradical + is + …
   Ví dụ: The nilradical is an ideal. (Nilradical là một ideal.)

b. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ	nilradical	Nilradical của một vành	The nilradical of R is denoted by N(R). (Nilradical của R được ký hiệu là N(R).)

3. Một số cụm từ thông dụng với “nilradical”

• Nilradical of a ring: Nilradical của một vành.
  Ví dụ: Compute the nilradical of a ring. (Tính nilradical của một vành.)
• Prime ideal: Ideal nguyên tố. (Liên quan đến nilradical vì nilradical là giao của tất cả các ideal nguyên tố.)
  Ví dụ: The nilradical is the intersection of all prime ideals. (Nilradical là giao của tất cả các ideal nguyên tố.)

4. Lưu ý khi sử dụng “nilradical”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Danh từ: Sử dụng trong lĩnh vực đại số giao hoán, khi nói về các vành và ideal.

b. Phân biệt với các khái niệm liên quan

• “Nilradical” vs “Jacobson radical”:
  – “Nilradical”: Tập hợp các phần tử lũy linh.
  – “Jacobson radical”: Giao của tất cả các ideal cực đại.
  Ví dụ: The nilradical and the Jacobson radical are distinct. (Nilradical và Jacobson radical là khác nhau.)
• “Nilpotent element”: Phần tử lũy linh (một phần tử thuộc nilradical).
  Ví dụ: Every element in the nilradical is nilpotent. (Mọi phần tử trong nilradical đều lũy linh.)

5. Những lỗi cần tránh

1. Sử dụng “nilradical” ngoài ngữ cảnh đại số giao hoán:
   – Sai: *The nilradical of this sentence is important.*
   – Đúng: The nilradical of the polynomial ring is trivial. (Nilradical của vành đa thức là tầm thường.)
2. Nhầm lẫn với các khái niệm khác:
   – Sai: *Nilradical is the same as Jacobson radical.*
   – Đúng: The nilradical is contained in the Jacobson radical. (Nilradical nằm trong Jacobson radical.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Liên hệ: Nilradical là tập hợp các phần tử “nilpotent” (lũy linh).
• Thực hành: Tính nilradical cho các vành đơn giản (ví dụ: Z/nZ).
• Ghi nhớ: Nilradical liên quan đến các ideal nguyên tố.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “nilradical” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The nilradical of the ring Z/8Z is {0, 2, 4, 6}. (Nilradical của vành Z/8Z là {0, 2, 4, 6}.)
2. The nilradical of a reduced ring is zero. (Nilradical của một vành rút gọn là zero.)
3. If the nilradical of a ring is zero, the ring is said to be reduced. (Nếu nilradical của một vành là zero, vành đó được gọi là rút gọn.)
4. The nilradical is an ideal contained in the Jacobson radical. (Nilradical là một ideal nằm trong Jacobson radical.)
5. To compute the nilradical, find all nilpotent elements. (Để tính nilradical, hãy tìm tất cả các phần tử lũy linh.)
6. The nilradical of a Boolean ring is always zero. (Nilradical của một vành Boolean luôn là zero.)
7. The nilradical of the polynomial ring K[x] is zero, where K is a field. (Nilradical của vành đa thức K[x] là zero, trong đó K là một trường.)
8. In a commutative ring, the nilradical is equal to the set of all nilpotent elements. (Trong một vành giao hoán, nilradical bằng tập hợp tất cả các phần tử lũy linh.)
9. The nilradical is the intersection of all prime ideals of the ring. (Nilradical là giao của tất cả các ideal nguyên tố của vành.)
10. Let R be a commutative ring. Then the nilradical of R is a nil ideal. (Cho R là một vành giao hoán. Khi đó nilradical của R là một nil ideal.)
11. The concept of the nilradical is fundamental in commutative algebra. (Khái niệm về nilradical là cơ bản trong đại số giao hoán.)
12. If the nilradical of a ring is a prime ideal, then it is the only prime ideal. (Nếu nilradical của một vành là một ideal nguyên tố, thì nó là ideal nguyên tố duy nhất.)
13. The nilradical of a Noetherian ring is nilpotent. (Nilradical của một vành Noetherian là lũy linh.)
14. The nilradical is a radical ideal. (Nilradical là một radical ideal.)
15. The quotient ring R modulo its nilradical is a reduced ring. (Vành thương R modulo nilradical của nó là một vành rút gọn.)
16. The nilradical plays a crucial role in the structure theory of commutative rings. (Nilradical đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết cấu trúc của các vành giao hoán.)
17. We can use the nilradical to classify certain types of rings. (Chúng ta có thể sử dụng nilradical để phân loại một số loại vành nhất định.)
18. The computation of the nilradical can be challenging for complicated rings. (Việc tính toán nilradical có thể khó khăn đối với các vành phức tạp.)
19. The nilradical provides information about the “nilpotency” in a ring. (Nilradical cung cấp thông tin về “tính lũy linh” trong một vành.)
20. Understanding the nilradical is essential for studying commutative algebra. (Hiểu về nilradical là điều cần thiết để nghiên cứu đại số giao hoán.)