Cách Sử Dụng Phương Pháp “Proofs by Exhaustion”
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp “proofs by exhaustion” – một kỹ thuật chứng minh toán học dựa trên việc kiểm tra tất cả các trường hợp có thể. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng chính xác về cách áp dụng, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, các bước thực hiện, và các lưu ý quan trọng.
Phần 1: Hướng dẫn sử dụng phương pháp “proofs by exhaustion” và các lưu ý
1. Ý nghĩa cơ bản của “proofs by exhaustion”
“Proofs by exhaustion” là một phương pháp chứng minh mang nghĩa chính:
- Chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp: Phương pháp chứng minh một mệnh đề bằng cách kiểm tra tính đúng đắn của nó trong mọi trường hợp có thể xảy ra.
Các dạng liên quan: “exhaust” (động từ – làm cạn kiệt), “exhaustive” (tính từ – toàn diện).
Ví dụ:
- Động từ: They exhaust all possibilities. (Họ làm cạn kiệt mọi khả năng.)
- Tính từ: An exhaustive search. (Một cuộc tìm kiếm toàn diện.)
- Phương pháp: Proofs by exhaustion are used. (Phương pháp chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp được sử dụng.)
2. Cách sử dụng phương pháp “proofs by exhaustion”
a. Là phương pháp chứng minh
- Xác định tất cả các trường hợp có thể
Ví dụ: Chứng minh rằng không có số chính phương nào kết thúc bằng chữ số 2,3,7 hoặc 8. - Kiểm tra từng trường hợp
Ví dụ: Kiểm tra từng chữ số cuối cùng (0-9) của một số, bình phương số đó và kiểm tra xem kết quả có kết thúc bằng 2,3,7 hoặc 8 hay không.
b. Áp dụng trong toán học và khoa học máy tính
- Chứng minh định lý
Ví dụ: Chứng minh rằng một tính chất đúng cho một tập hợp hữu hạn các đối tượng.
c. Biến thể và cách dùng trong câu
| Dạng từ | Từ | Ý nghĩa / Cách dùng | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| Phương pháp | proofs by exhaustion | Chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp | Use proofs by exhaustion. (Sử dụng chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp.) |
| Động từ | exhaust | Làm cạn kiệt | Exhaust all options. (Làm cạn kiệt tất cả các lựa chọn.) |
| Tính từ | exhaustive | Toàn diện | An exhaustive study. (Một nghiên cứu toàn diện.) |
Ví dụ khác: The search was exhaustive. (Cuộc tìm kiếm đã diễn ra một cách toàn diện.)
3. Một số cụm từ thông dụng với “proofs by exhaustion”
- Apply proofs by exhaustion: Áp dụng chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp.
Ví dụ: Apply proofs by exhaustion to solve this problem. (Áp dụng chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp để giải quyết vấn đề này.) - Use proofs by exhaustion: Sử dụng chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp.
Ví dụ: We use proofs by exhaustion when other methods fail. (Chúng ta sử dụng chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp khi các phương pháp khác thất bại.) - Base on proofs by exhaustion: Dựa trên chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp.
Ví dụ: The conclusion is based on proofs by exhaustion. (Kết luận được dựa trên chứng minh bằng xét tất cả các trường hợp.)
4. Lưu ý khi sử dụng “proofs by exhaustion”
a. Ngữ cảnh phù hợp
- Khi số lượng trường hợp hữu hạn và nhỏ: Phương pháp này chỉ khả thi khi số lượng trường hợp cần kiểm tra là hữu hạn và đủ nhỏ để có thể kiểm tra một cách hiệu quả.
Ví dụ: Kiểm tra tất cả các trường hợp của một bảng chân trị. - Khi không có phương pháp chứng minh nào hiệu quả hơn: Trong một số trường hợp, đây có thể là phương pháp duy nhất để chứng minh một mệnh đề.
Ví dụ: Chứng minh các trường hợp đặc biệt của một định lý.
b. Hạn chế
- Không áp dụng cho số lượng trường hợp vô hạn: Nếu số lượng trường hợp là vô hạn, phương pháp này không thể áp dụng được.
Ví dụ: Không thể chứng minh một mệnh đề đúng cho tất cả các số thực bằng cách này. - Tốn thời gian và công sức: Nếu số lượng trường hợp lớn, việc kiểm tra tất cả các trường hợp có thể tốn rất nhiều thời gian và công sức.
Ví dụ: Kiểm tra tất cả các khả năng trong một trò chơi phức tạp.
c. “Proofs by exhaustion” không phải lúc nào cũng thanh lịch
- Có thể có các phương pháp chứng minh khác hiệu quả hơn: Mặc dù phương pháp này có thể chứng minh được mệnh đề, nhưng có thể có các phương pháp khác ngắn gọn và dễ hiểu hơn.
Ví dụ: Sử dụng quy nạp toán học thay vì xét tất cả các trường hợp.
5. Những lỗi cần tránh
- Bỏ sót trường hợp:
– Sai: *Chỉ xét một vài trường hợp.*
– Đúng: Xét tất cả các trường hợp có thể. - Áp dụng cho số lượng trường hợp vô hạn:
– Sai: *Chứng minh cho tất cả các số thực bằng xét mọi trường hợp.*
– Đúng: Chỉ áp dụng cho số lượng trường hợp hữu hạn. - Không kiểm tra kỹ lưỡng từng trường hợp:
– Sai: *Kiểm tra qua loa, không chính xác.*
– Đúng: Kiểm tra từng trường hợp một cách cẩn thận.
6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả
- Hình dung: “Xét tất cả các khả năng như vét cạn”.
- Thực hành: Tìm các bài toán có thể giải bằng phương pháp này.
- So sánh: Xem xét các phương pháp chứng minh khác trước khi sử dụng.
Phần 2: Ví dụ sử dụng phương pháp “proofs by exhaustion”
Ví dụ minh họa
- Chứng minh rằng không có số chính phương nào kết thúc bằng chữ số 2: Xét các chữ số 0-9, bình phương chúng, không có kết quả nào kết thúc bằng 2.
- Chứng minh rằng mọi số chẵn từ 4 đến 10 đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố: 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5.
- Chứng minh rằng một mạch logic với 2 đầu vào chỉ có 16 hàm Boolean khác nhau: Liệt kê tất cả 16 hàm Boolean và chứng minh.
- Chứng minh rằng không có số hoàn hảo nào nhỏ hơn 30 ngoài 6 và 28: Kiểm tra tất cả các số từ 1 đến 29.
- Chứng minh rằng một đồ thị với 4 đỉnh không có chu trình độ dài 3 thì không có cạnh nào nối tất cả các đỉnh: Xét tất cả các trường hợp có thể.
- Chứng minh rằng không có số nguyên tố nào giữa 2 và 4: Kiểm tra các số 3.
- Chứng minh rằng với tập hợp {1, 2, 3}, tổng của bất kỳ hai phần tử nào luôn lớn hơn hoặc bằng phần tử còn lại.
- Chứng minh rằng một cây nhị phân hoàn chỉnh có 3 nút thì có chiều cao là 1.
- Chứng minh rằng không có số Fibonacci nào nhỏ hơn 10 là số chính phương ngoại trừ 1.
- Chứng minh rằng một hàm băm (hash function) chỉ cho ra một giá trị duy nhất cho một tập dữ liệu nhỏ.
- Chứng minh rằng không có số lẻ nào nhỏ hơn 10 chia hết cho 4: Kiểm tra các số 1, 3, 5, 7, 9.
- Chứng minh rằng mọi số nhỏ hơn 5 đều nhỏ hơn 10.
- Chứng minh rằng không có số nguyên dương nào nhỏ hơn 6 mà vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 ngoại trừ 6.
- Chứng minh rằng một đồ thị đầy đủ (complete graph) có 4 đỉnh thì có 6 cạnh.
- Chứng minh rằng không có số Armstrong nào có 2 chữ số.
- Chứng minh rằng một đa thức bậc hai không có nghiệm thực với các hệ số cho trước.
- Chứng minh rằng với 3 điểm không thẳng hàng, có thể vẽ một đường tròn đi qua cả 3 điểm đó.
- Chứng minh rằng không có số palindrome nào nhỏ hơn 100 mà chia hết cho 11 ngoại trừ 11, 22,…, 99.
- Chứng minh rằng một ma trận 2×2 có định thức bằng 0 thì không khả nghịch.
- Chứng minh rằng trong một trò chơi cờ đơn giản, với một số bước di chuyển hạn chế, người chơi không thể thắng.
