Cách Sử Dụng Định Lý “Pythagoras’ theorem”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá định lý “Pythagoras’ theorem” – một định lý cơ bản trong hình học Euclid liên hệ đến ba cạnh của một tam giác vuông. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng định lý trong các bài toán khác nhau, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, công thức, và các lưu ý quan trọng khi áp dụng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng định lý Pythagoras và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “Pythagoras’ theorem”

“Pythagoras’ theorem” phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông còn lại.

Công thức: a² + b² = c²

• Trong đó:
• a và b là độ dài hai cạnh góc vuông.
• c là độ dài cạnh huyền.

Ví dụ: Nếu a = 3 và b = 4, thì c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Vậy c = √25 = 5.

2. Cách sử dụng “Pythagoras’ theorem”

a. Tìm cạnh huyền

1. Biết độ dài hai cạnh góc vuông (a và b), tìm cạnh huyền (c).
   Ví dụ: Cho a = 6, b = 8. Tính c: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Vậy c = √100 = 10.

b. Tìm cạnh góc vuông

1. Biết độ dài cạnh huyền (c) và một cạnh góc vuông (a), tìm cạnh góc vuông còn lại (b).
   Ví dụ: Cho c = 13, a = 5. Tính b: b² = c² – a² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144. Vậy b = √144 = 12.

c. Kiểm tra một tam giác có phải là tam giác vuông hay không

1. Nếu a² + b² = c², thì tam giác đó là tam giác vuông.
   Ví dụ: Cho a = 7, b = 24, c = 25. Kiểm tra: 7² + 24² = 49 + 576 = 625. 25² = 625. Vậy tam giác này là tam giác vuông.

d. Biến thể và cách dùng trong câu

Ứng dụng	Công thức	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Tìm cạnh huyền	c² = a² + b²	Tính độ dài cạnh huyền khi biết hai cạnh góc vuông	Nếu a = 3 và b = 4, thì c = 5.
Tìm cạnh góc vuông	a² = c² – b²	Tính độ dài cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại	Nếu c = 5 và b = 4, thì a = 3.
Kiểm tra tam giác vuông	a² + b² = c²	Xác định một tam giác có phải là tam giác vuông hay không	3² + 4² = 5².

3. Một số ứng dụng thông dụng của “Pythagoras’ theorem”

• Tính khoảng cách: Trong hệ tọa độ, định lý Pythagoras được dùng để tính khoảng cách giữa hai điểm.
  Ví dụ: Khoảng cách giữa (1, 2) và (4, 6) là √((4-1)² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = 5.
• Xây dựng và kiến trúc: Đảm bảo góc vuông chính xác trong xây dựng.
  Ví dụ: Kiểm tra góc vuông của một bức tường bằng cách đo 3 mét dọc một bên, 4 mét dọc bên kia, và đảm bảo khoảng cách giữa hai điểm cuối là 5 mét.
• Điều hướng: Tính toán khoảng cách và hướng đi.
  Ví dụ: Một con tàu đi 3 dặm về phía Bắc và 4 dặm về phía Đông. Khoảng cách từ điểm xuất phát là √(3² + 4²) = 5 dặm.

4. Lưu ý khi sử dụng “Pythagoras’ theorem”

a. Điều kiện áp dụng

• Định lý Pythagoras chỉ áp dụng cho tam giác vuông.
• Phải xác định đúng cạnh huyền (cạnh dài nhất và đối diện với góc vuông).

b. Đơn vị đo

• Đảm bảo các cạnh có cùng đơn vị đo trước khi tính toán.

5. Những lỗi cần tránh

1. Áp dụng định lý cho tam giác không vuông:
   – Sai: *Tính cạnh trong tam giác đều bằng định lý Pythagoras.*
   – Đúng: Định lý Pythagoras chỉ áp dụng cho tam giác vuông.
2. Nhầm lẫn cạnh huyền:
   – Sai: *a² + c² = b² (trong đó c là cạnh huyền).*
   – Đúng: a² + b² = c² (trong đó c là cạnh huyền).
3. Tính toán sai:
   – Kiểm tra kỹ các phép tính bình phương và căn bậc hai.

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hình dung: Vẽ hình tam giác vuông và xác định các cạnh.
• Thực hành: Giải nhiều bài tập khác nhau để quen với việc áp dụng định lý.
• Ứng dụng thực tế: Tìm các ví dụ về ứng dụng của định lý trong cuộc sống hàng ngày.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “Pythagoras’ theorem” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. A ladder is leaning against a wall. The base of the ladder is 5 feet from the wall, and the ladder reaches 12 feet up the wall. How long is the ladder? (c² = 5² + 12² = 169, c = 13 feet)
2. A rectangular garden is 8 meters long and 6 meters wide. What is the length of the diagonal of the garden? (c² = 8² + 6² = 100, c = 10 meters)
3. A right triangle has a hypotenuse of 17 cm and one leg of 8 cm. What is the length of the other leg? (a² = 17² – 8² = 225, a = 15 cm)
4. A baseball diamond is a square with sides of 90 feet. What is the distance from home plate to second base? (c² = 90² + 90² = 16200, c ≈ 127.28 feet)
5. A ship sails 12 miles east and then 5 miles north. How far is the ship from its starting point? (c² = 12² + 5² = 169, c = 13 miles)
6. A 20-foot pole is supported by a wire that runs from the top of the pole to a point on the ground 15 feet from the base of the pole. How long is the wire? (c² = 20² + 15² = 625, c = 25 feet)
7. A map shows two towns that are 50 km apart east-west and 120 km apart north-south. How far apart are the towns as the crow flies? (c² = 50² + 120² = 16900, c = 130 km)
8. A kite is flying at the end of a 100-meter string. The kite is directly above a spot on the ground 60 meters from the person holding the string. How high is the kite above the ground? (a² = 100² – 60² = 6400, a = 80 meters)
9. A television screen is 40 inches wide and 30 inches high. What is the length of the diagonal of the screen? (c² = 40² + 30² = 2500, c = 50 inches)
10. A garden gate is 4 feet wide and 6 feet high. What is the length of a brace that runs diagonally from one corner of the gate to the opposite corner? (c² = 4² + 6² = 52, c ≈ 7.21 feet)
11. A hiker walks 8 km east and then 15 km south. How far is the hiker from the starting point? (c² = 8² + 15² = 289, c = 17 km)
12. A ramp is 5 meters long and rises to a height of 1.5 meters. What is the horizontal distance covered by the ramp? (a² = 5² – 1.5² = 22.75, a ≈ 4.77 meters)
13. A square room has sides of 10 meters. What is the length of the diagonal across the room? (c² = 10² + 10² = 200, c ≈ 14.14 meters)
14. A triangle has sides of 5, 12, and 13. Is it a right triangle? (5² + 12² = 25 + 144 = 169, 13² = 169, yes)
15. A triangle has sides of 7, 24, and 25. Is it a right triangle? (7² + 24² = 49 + 576 = 625, 25² = 625, yes)
16. A rope stretches from the top of a 12-foot pole to a stake in the ground that is 9 feet from the base of the pole. How long is the rope? (c² = 12² + 9² = 225, c = 15 feet)
17. An airplane flies 150 km west and then 80 km north. How far is the airplane from its starting point? (c² = 150² + 80² = 28900, c = 170 km)
18. A rectangle has a length of 16 cm and a diagonal of 20 cm. What is the width of the rectangle? (a² = 20² – 16² = 144, a = 12 cm)
19. A surveyor needs to measure the distance across a lake. From a point on one side of the lake, the surveyor walks 50 meters along a line perpendicular to the lake. Then the surveyor walks 120 meters to a point on the other side of the lake. How wide is the lake? (c² = 50² + 120² = 16900, c = 130 meters)
20. A frame for a window is 3 feet wide and 4 feet high. What is the length of the diagonal brace needed to support the frame? (c² = 3² + 4² = 25, c = 5 feet)