Cách Sử Dụng Từ “Supremum”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá từ “supremum” – một thuật ngữ toán học quan trọng, cùng các ứng dụng của nó. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng trong các bài toán và lý thuyết, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, bảng ký hiệu, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “supremum” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “supremum”

“Supremum” là một danh từ mang nghĩa chính:

• Cận trên đúng: Giá trị nhỏ nhất trong số các cận trên của một tập hợp số.

Dạng liên quan: “infimum” (cận dưới đúng).

Ví dụ:

• Tập hợp: S = {1, 2, 3}.
• Supremum: sup(S) = 3.

2. Cách sử dụng “supremum”

a. Trong lý thuyết tập hợp

1. sup(S): Ký hiệu supremum của tập hợp S.
   Ví dụ: sup({x ∈ ℝ : x < 5}) = 5. (Supremum của tập hợp các số thực x nhỏ hơn 5 là 5.)

b. Trong giải tích

1. Supremum của một hàm số
   Ví dụ: Nếu f(x) = x² trên đoạn [0, 2], thì supremum của f(x) là 4.
2. Tính liên tục và supremum
   Ví dụ: Hàm số liên tục trên một đoạn đóng bị chặn thì đạt giá trị lớn nhất (supremum).

c. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ	supremum	Cận trên đúng	The supremum is 5. (Cận trên đúng là 5.)
Tính từ (liên quan)	supremal	Liên quan đến supremum	Supremal value. (Giá trị supremum.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “supremum”

• Least upper bound: Đồng nghĩa với supremum.
  Ví dụ: The least upper bound of the set is its supremum. (Cận trên nhỏ nhất của tập hợp là supremum của nó.)
• Greatest lower bound: Đối nghĩa với supremum, là infimum (cận dưới đúng).
  Ví dụ: The greatest lower bound is also known as the infimum. (Cận dưới lớn nhất còn được gọi là infimum.)

4. Lưu ý khi sử dụng “supremum”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Tập hợp số: Tìm cận trên đúng của tập hợp.
  Ví dụ: Find the supremum of the set {1/n : n ∈ ℕ}. (Tìm supremum của tập hợp {1/n : n thuộc tập số tự nhiên}.)
• Hàm số: Xác định giá trị lớn nhất có thể đạt được của hàm số.
  Ví dụ: Determine the supremum of the function f(x) = sin(x). (Xác định supremum của hàm số f(x) = sin(x).)

b. Phân biệt với các khái niệm liên quan

• “Supremum” vs “Maximum”:
  – “Supremum”: Cận trên nhỏ nhất (có thể không thuộc tập hợp).
  – “Maximum”: Giá trị lớn nhất thuộc tập hợp.
  Ví dụ: sup({x ∈ ℝ : x < 1}) = 1 (nhưng 1 không thuộc tập hợp). / max({1, 2, 3}) = 3.
• “Supremum” vs “Upper bound”:
  – “Supremum”: Cận trên nhỏ nhất.
  – “Upper bound”: Bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử của tập hợp.
  Ví dụ: Nếu tập hợp là {1, 2}, thì 3 là một cận trên, nhưng 2 là supremum.

5. Những lỗi cần tránh

1. Nhầm lẫn giữa supremum và maximum:
   – Sai: *The supremum of {x : x < 5} is not defined because it has no maximum.*
   – Đúng: The supremum of {x : x < 5} is 5. (Supremum của {x : x < 5} là 5.)
2. Không xét tính tồn tại của supremum:
   – Cần kiểm tra xem tập hợp có bị chặn trên hay không trước khi tìm supremum.

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hình dung: “Supremum” như “cận trên gần nhất”.
• Thực hành: Tìm supremum của nhiều tập hợp số khác nhau.
• So sánh: Phân biệt rõ ràng với maximum và các khái niệm liên quan.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “supremum” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The supremum of the set {1/n : n ∈ ℕ} is 1. (Supremum của tập hợp {1/n : n thuộc tập số tự nhiên} là 1.)
2. The supremum of the set {x ∈ ℝ : x < 0} is 0. (Supremum của tập hợp {x thuộc R : x < 0} là 0.)
3. Let f(x) = x² on the interval [0, 1]. The supremum of f(x) is 1. (Cho f(x) = x^2 trên khoảng [0, 1]. Supremum của f(x) là 1.)
4. The supremum of the sine function is 1. (Supremum của hàm sin là 1.)
5. The supremum of a bounded increasing sequence is its limit. (Supremum của một dãy tăng bị chặn là giới hạn của nó.)
6. The infimum is the dual of the supremum. (Infimum là đối ngẫu của supremum.)
7. The supremum of the set {1, 1/2, 1/3, …} is 1. (Supremum của tập hợp {1, 1/2, 1/3, …} là 1.)
8. The least upper bound is another name for the supremum. (Cận trên nhỏ nhất là một tên gọi khác của supremum.)
9. The supremum is important in real analysis. (Supremum rất quan trọng trong giải tích thực.)
10. What is the supremum of the set {x: x < 5}? (Supremum của tập hợp {x: x < 5} là gì?)
11. The supremum may not be an element of the set. (Supremum có thể không phải là một phần tử của tập hợp.)
12. The concept of supremum is used to define completeness in the real numbers. (Khái niệm supremum được sử dụng để định nghĩa tính đầy đủ trong tập số thực.)
13. The supremum of the empty set is negative infinity. (Supremum của tập hợp rỗng là âm vô cùng.)
14. Finding the supremum of a function can help us understand its behavior. (Tìm supremum của một hàm số có thể giúp chúng ta hiểu hành vi của nó.)
15. The supremum is the least upper bound of a set. (Supremum là cận trên nhỏ nhất của một tập hợp.)
16. Consider the set A = {x ∈ ℝ : x ≤ 3}. The supremum of A is 3. (Xét tập A = {x ∈ ℝ : x ≤ 3}. Supremum của A là 3.)
17. For a bounded set, the supremum always exists in the real numbers. (Đối với một tập hợp bị chặn, supremum luôn tồn tại trong tập số thực.)
18. The supremum is a key concept in topology. (Supremum là một khái niệm quan trọng trong tô pô.)
19. If a set has a maximum, then the maximum is equal to the supremum. (Nếu một tập hợp có giá trị lớn nhất, thì giá trị lớn nhất bằng với supremum.)
20. Understanding the supremum helps in proving many theorems. (Hiểu supremum giúp chứng minh nhiều định lý.)