Cách Sử Dụng Từ “Totients”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá từ “totients” – một thuật ngữ toán học liên quan đến hàm Euler, cùng các dạng liên quan. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng (trong ngữ cảnh toán học) về cách tính toán và ứng dụng, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, bảng biến đổi từ vựng, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “totients” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “totients”

“Totients” (thường được gọi là hàm Euler’s totient function hoặc phi function) có nghĩa là số lượng các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng *n* và nguyên tố cùng nhau với *n*.

• Định nghĩa: φ(*n*) là số các số nguyên dương *k* sao cho 1 ≤ *k* ≤ *n* và gcd(*n*, *k*) = 1.

Dạng liên quan: “totient” (số ít), “Euler’s totient function”.

Ví dụ:

• φ(8) = 4 (vì 1, 3, 5, và 7 là các số nguyên tố cùng nhau với 8).

2. Cách sử dụng “totients”

a. Tính toán totients

1. Số nguyên tố: Nếu *p* là số nguyên tố, thì φ(*p*) = *p* – 1.
   Ví dụ: φ(7) = 6.
2. Lũy thừa của số nguyên tố: Nếu *p* là số nguyên tố và *k* ≥ 1, thì φ(*p*^*k*) = *p*^*k* – *p*^*k*-1.
   Ví dụ: φ(2³) = φ(8) = 8 – 4 = 4.
3. Tính chất nhân tính: Nếu gcd(*m*, *n*) = 1, thì φ(*mn*) = φ(*m*)φ(*n*).
   Ví dụ: φ(15) = φ(3)φ(5) = 2 * 4 = 8.

b. Công thức tổng quát

1. Cho *n* = *p*₁^*k*₁ * p*₂^*k*₂ … * p*_r^*k*_r là phân tích thừa số nguyên tố của *n*, thì φ(*n*) = *n* (1 – 1/*p*₁) (1 – 1/*p*₂) … (1 – 1/*p*_r).
   Ví dụ: φ(12) = 12 * (1 – 1/2) * (1 – 1/3) = 12 * (1/2) * (2/3) = 4.

c. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ (số ít)	totient	Hàm Euler’s totient function cho một số cụ thể	The totient of 10 is 4. (Totient của 10 là 4.)
Danh từ (số nhiều)	totients	Giá trị của hàm Euler’s totient function cho nhiều số	Calculating the totients of several numbers. (Tính toán totient của một vài số.)
Cụm từ	Euler’s totient function	Tên gọi chính thức của hàm	Euler’s totient function is used in cryptography. (Hàm Euler’s totient function được dùng trong mật mã học.)

3. Một số ứng dụng thông dụng của “totients”

• Mật mã học: Trong thuật toán RSA, hàm Euler đóng vai trò quan trọng trong việc tạo khóa mã hóa.
  Ví dụ: Totients are used to compute the private key in RSA. (Totients được dùng để tính khóa riêng trong RSA.)
• Lý thuyết số: Sử dụng để giải các bài toán liên quan đến đồng dư và số học modular.
  Ví dụ: Euler’s theorem states that a^φ(n) ≡ 1 (mod n) if a and n are coprime. (Định lý Euler nói rằng a^φ(n) ≡ 1 (mod n) nếu a và n là nguyên tố cùng nhau.)
• Phân tích số: Ứng dụng trong việc nghiên cứu tính chất của số nguyên.
  Ví dụ: The distribution of totients can reveal information about the distribution of primes. (Sự phân bố của totients có thể tiết lộ thông tin về sự phân bố của số nguyên tố.)

4. Lưu ý khi sử dụng “totients”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Toán học: Luôn dùng trong các bài toán số học, lý thuyết số, mật mã học.
  Ví dụ: The totient function is a fundamental tool in number theory. (Hàm totient là một công cụ cơ bản trong lý thuyết số.)
• Ký hiệu: Luôn sử dụng ký hiệu φ(*n*) để chỉ hàm Euler’s totient function.
  Ví dụ: Compute φ(100). (Tính φ(100).)

b. Phân biệt với khái niệm liên quan

• “Totient” vs “Prime Number”:
  – “Totient”: Giá trị hàm Euler’s totient function.
  – “Prime Number”: Số nguyên tố.
  Ví dụ: φ(7) = 6 (totient) / 7 is a prime number. (7 là số nguyên tố.)
• “Totient” vs “GCD (Greatest Common Divisor)”:
  – “Totient”: Số lượng các số nguyên tố cùng nhau.
  – “GCD”: Ước số chung lớn nhất.
  Ví dụ: The totient of 8 is 4 / The GCD of 8 and 12 is 4. (Ước chung lớn nhất của 8 và 12 là 4.)

5. Những lỗi cần tránh

1. Tính sai totient cho số không nguyên tố cùng nhau:
   – Sai: *φ(6) = 6 – 1 = 5* (6 không phải số nguyên tố).
   – Đúng: φ(6) = φ(2)φ(3) = 1 * 2 = 2. (1 và 5 nguyên tố cùng nhau với 6)
2. Không áp dụng tính chất nhân tính đúng cách:
   – Sai: *φ(4) = φ(2)φ(2) = 1*1 = 1* (gcd(2,2) != 1).
   – Đúng: φ(4) = 4 * (1 – 1/2) = 2.

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hiểu rõ định nghĩa: Totient là số lượng số nguyên dương nhỏ hơn *n* và nguyên tố cùng nhau với *n*.
• Áp dụng công thức: Sử dụng công thức phân tích thừa số nguyên tố để tính nhanh chóng.
• Thực hành: Tính totient cho nhiều số khác nhau để làm quen.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “totients” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The totient of 1 is 1. (Totient của 1 là 1.)
2. Compute the totient of 9. (Tính totient của 9.)
3. Euler’s totient function is denoted by φ(n). (Hàm Euler’s totient function được ký hiệu là φ(n).)
4. Find all numbers n such that φ(n) = 1. (Tìm tất cả các số n sao cho φ(n) = 1.)
5. The value of the totient function for a prime number p is p-1. (Giá trị của hàm totient cho một số nguyên tố p là p-1.)
6. Totients are used in RSA encryption. (Totients được sử dụng trong mã hóa RSA.)
7. What are the totients of the first 10 positive integers? (Totients của 10 số nguyên dương đầu tiên là gì?)
8. Calculate φ(100) using the prime factorization method. (Tính φ(100) bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố.)
9. The totient of 100 is 40. (Totient của 100 là 40.)
10. Euler’s totient function counts the number of integers coprime to n. (Hàm Euler’s totient function đếm số lượng các số nguyên tố cùng nhau với n.)
11. If p is prime, then the totient of p is p-1. (Nếu p là số nguyên tố, thì totient của p là p-1.)
12. The totients can be used to prove Euler’s theorem. (Totients có thể được sử dụng để chứng minh định lý Euler.)
13. The sum of the totients of the divisors of n is n. (Tổng của các totients của các ước của n là n.)
14. We need to compute the totients for a large set of numbers. (Chúng ta cần tính totients cho một tập hợp lớn các số.)
15. The totient function is a multiplicative function. (Hàm totient là một hàm nhân tính.)
16. Understanding totients is essential for studying number theory. (Hiểu totients là điều cần thiết để nghiên cứu lý thuyết số.)
17. The algorithm uses totients to generate secure keys. (Thuật toán sử dụng totients để tạo khóa an toàn.)
18. Totients are important in understanding the structure of the integers. (Totients rất quan trọng trong việc hiểu cấu trúc của các số nguyên.)
19. The distribution of totients is related to the distribution of prime numbers. (Sự phân bố của totients có liên quan đến sự phân bố của số nguyên tố.)
20. The table lists the totients for the numbers 1 to 20. (Bảng liệt kê các totients cho các số từ 1 đến 20.)