Cách Sử Dụng Từ “Algebraic Integers”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm “algebraic integers” – một khái niệm quan trọng trong lý thuyết số đại số. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng khái niệm này trong các bài toán và định lý, cùng hướng dẫn chi tiết về định nghĩa, tính chất, ví dụ minh họa, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “algebraic integers” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “algebraic integers”

“Algebraic integer” là một số phức là nghiệm của một đa thức monic (hệ số bậc cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên.

• Định nghĩa: Một số phức α là một algebraic integer nếu tồn tại các số nguyên a₀, a₁, …, aₙ₋₁ sao cho α thỏa mãn phương trình: αⁿ + aₙ₋₁αⁿ⁻¹ + … + a₁α + a₀ = 0.

Ví dụ:

• √2 là một algebraic integer, vì nó là nghiệm của đa thức x² – 2 = 0.
• Số vàng φ = (1 + √5)/2 là một algebraic integer, vì nó là nghiệm của đa thức x² – x – 1 = 0.

2. Cách sử dụng “algebraic integers”

a. Kiểm tra một số có phải là algebraic integer

1. Tìm đa thức monic với hệ số nguyên:
   Ví dụ: Để kiểm tra xem (1 + √3)/2 có phải là algebraic integer hay không, ta xét x = (1 + √3)/2. Khi đó, 2x – 1 = √3, suy ra (2x – 1)² = 3, hay 4x² – 4x + 1 = 3, do đó x² – x – 1/2 = 0. Để có hệ số nguyên, nhân cả phương trình cho 2: 2x² – 2x – 1 = 0. Do đó (1 + √3)/2 không phải là algebraic integer.
2. Xác định nghiệm của đa thức:
   Ví dụ: Nếu tìm được một đa thức monic với hệ số nguyên mà số đó là nghiệm, thì số đó là algebraic integer.

b. Sử dụng algebraic integers trong chứng minh

1. Tính chất đóng: Tổng, hiệu và tích của hai algebraic integers cũng là một algebraic integer.
   Ví dụ: Nếu α và β là algebraic integers, thì α + β, α – β và αβ cũng là algebraic integers.
2. Ứng dụng trong lý thuyết số: Algebraic integers được sử dụng để mở rộng các khái niệm quen thuộc trong số học sang các trường số đại số.

c. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ	algebraic integer	Số phức là nghiệm của đa thức monic với hệ số nguyên.	√2 is an algebraic integer because it is a root of x² – 2 = 0. (√2 là một algebraic integer vì nó là nghiệm của x² – 2 = 0.)
Tính từ	algebraic	Thuộc về đại số.	Algebraic number theory studies algebraic integers. (Lý thuyết số đại số nghiên cứu các algebraic integers.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “algebraic integers”

• Ring of integers: Tập hợp tất cả các algebraic integers trong một trường số đại số.
  Ví dụ: The ring of integers of Q(√5) is Z[(1+√5)/2]. (Vành các số nguyên của Q(√5) là Z[(1+√5)/2].)
• Field of algebraic numbers: Trường số đại số là một mở rộng hữu hạn của trường số hữu tỉ.

4. Lưu ý khi sử dụng “algebraic integers”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Lý thuyết số đại số: Các bài toán và chứng minh liên quan đến tính chia hết, các vành số, trường số.
• Các lĩnh vực toán học khác: Có thể xuất hiện trong hình học đại số, giải tích phức,…

b. Phân biệt với khái niệm liên quan

• Algebraic number: Một số phức là nghiệm của một đa thức (không nhất thiết monic) với hệ số hữu tỉ.
  – Mọi algebraic integer đều là algebraic number, nhưng không phải algebraic number nào cũng là algebraic integer.
• Rational integer: Các số nguyên thông thường (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).

c. “Algebraic integer” là một khái niệm toán học

• Cần hiểu rõ định nghĩa và tính chất trước khi sử dụng.

5. Những lỗi cần tránh

1. Nhầm lẫn algebraic integers với algebraic numbers:
   – Sai: *Every algebraic number is an algebraic integer.*
   – Đúng: Every algebraic integer is an algebraic number. (Mọi algebraic integer đều là algebraic number.)
2. Không kiểm tra tính monic của đa thức:
   – Sai: *√2 is an algebraic integer because it is a root of 2x² – 4 = 0.*
   – Đúng: √2 is an algebraic integer because it is a root of x² – 2 = 0. (√2 là một algebraic integer vì nó là nghiệm của x² – 2 = 0.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Liên hệ: “Algebraic integers” là “số nguyên” trong một “thế giới đại số” mở rộng.
• Thực hành: Chứng minh một số tính chất đơn giản của algebraic integers.
• Tham khảo: Tìm hiểu thêm về lý thuyết Galois và các ứng dụng của algebraic integers.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “algebraic integers” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. Show that the sum of two algebraic integers is also an algebraic integer. (Chứng minh tổng của hai algebraic integers cũng là một algebraic integer.)
2. Determine the ring of integers of Q(√-1). (Xác định vành các số nguyên của Q(√-1).)
3. Is (1+√5)/2 an algebraic integer? Justify your answer. (Liệu (1+√5)/2 có phải là một algebraic integer không? Giải thích câu trả lời của bạn.)
4. Prove that if α is an algebraic integer, then so is any integer power of α. (Chứng minh rằng nếu α là một algebraic integer, thì bất kỳ lũy thừa nguyên nào của α cũng là một algebraic integer.)
5. Compute the minimal polynomial of √2 + √3. (Tính đa thức tối tiểu của √2 + √3.)
6. Let α be an algebraic integer. Show that its minimal polynomial has integer coefficients. (Cho α là một algebraic integer. Chứng minh rằng đa thức tối tiểu của nó có hệ số nguyên.)
7. Describe the ring of algebraic integers in Q(√2). (Mô tả vành các số nguyên đại số trong Q(√2).)
8. Give an example of an algebraic number that is not an algebraic integer. (Đưa ra một ví dụ về một số đại số không phải là một số nguyên đại số.)
9. Explain why the set of algebraic integers forms a ring. (Giải thích tại sao tập hợp các số nguyên đại số tạo thành một vành.)
10. Find all algebraic integers in Q. (Tìm tất cả các số nguyên đại số trong Q.)
11. If α is an algebraic integer and α is also a unit, then α⁻¹ is also an algebraic integer. (Nếu α là một số nguyên đại số và α cũng là một đơn vị, thì α⁻¹ cũng là một số nguyên đại số.)
12. Determine if √2/2 is an algebraic integer. (Xác định xem √2/2 có phải là một số nguyên đại số hay không.)
13. Let ζ be a primitive nth root of unity. Show that ζ is an algebraic integer. (Cho ζ là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Chứng minh rằng ζ là một số nguyên đại số.)
14. Determine the algebraic integers in the field Q(∛2). (Xác định các số nguyên đại số trong trường Q(∛2).)
15. Prove that the field of fractions of the ring of algebraic integers is the field of algebraic numbers. (Chứng minh rằng trường các phân số của vành các số nguyên đại số là trường các số đại số.)
16. What are the algebraic integers in the Gaussian integers? (Các số nguyên đại số trong các số nguyên Gaussian là gì?)
17. Prove that the product of two algebraic integers is also an algebraic integer. (Chứng minh rằng tích của hai số nguyên đại số cũng là một số nguyên đại số.)
18. Show that if α is an algebraic integer, then its conjugate is also an algebraic integer. (Chứng minh rằng nếu α là một số nguyên đại số, thì số liên hợp của nó cũng là một số nguyên đại số.)
19. Describe the ring of integers of Q(√-3). (Mô tả vành các số nguyên của Q(√-3).)
20. Determine whether the number (1 + √-3)/2 is an algebraic integer. (Xác định xem số (1 + √-3)/2 có phải là một số nguyên đại số hay không.)