Cách Sử Dụng Cụm Từ “Linearly Dependent”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cụm từ “linearly dependent” – một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng chính xác trong các bài toán, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, các biểu diễn toán học, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “linearly dependent” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “linearly dependent”

“Linearly dependent” là một tính từ ghép (adjective phrase) mang nghĩa chính:

• Phụ thuộc tuyến tính: Một tập hợp các vectơ mà trong đó, ít nhất một vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Dạng liên quan: “linear dependence” (danh từ – sự phụ thuộc tuyến tính), “linearly independent” (tính từ ghép – độc lập tuyến tính).

Ví dụ:

• Tính từ ghép: The vectors are linearly dependent. (Các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.)
• Danh từ: Linear dependence is a key concept. (Sự phụ thuộc tuyến tính là một khái niệm quan trọng.)
• Tính từ ghép (đối nghĩa): The vectors are linearly independent. (Các vectơ này độc lập tuyến tính.)

2. Cách sử dụng “linearly dependent”

a. Là tính từ ghép

1. Be + linearly dependent
   Ví dụ: The vectors are linearly dependent. (Các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.)
2. Linearly dependent + danh từ
   Ví dụ: Linearly dependent vectors. (Các vectơ phụ thuộc tuyến tính.)

b. Là danh từ (linear dependence)

1. Linear dependence + of + danh từ
   Ví dụ: Linear dependence of vectors. (Sự phụ thuộc tuyến tính của các vectơ.)
2. The/This/That + linear dependence
   Ví dụ: This linear dependence affects the solution. (Sự phụ thuộc tuyến tính này ảnh hưởng đến giải pháp.)

c. Biểu diễn toán học

Cho tập hợp các vectơ {v1, v2, …, vn}. Nếu tồn tại các hệ số c1, c2, …, cn không đồng thời bằng 0 sao cho:

c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0

thì các vectơ v1, v2, …, vn là linearly dependent.

d. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Tính từ ghép	linearly dependent	Phụ thuộc tuyến tính	The vectors are linearly dependent. (Các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.)
Danh từ	linear dependence	Sự phụ thuộc tuyến tính	Linear dependence is present. (Có sự phụ thuộc tuyến tính.)
Tính từ ghép (đối nghĩa)	linearly independent	Độc lập tuyến tính	The vectors are linearly independent. (Các vectơ này độc lập tuyến tính.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “linearly dependent”

• Set of linearly dependent vectors: Tập hợp các vectơ phụ thuộc tuyến tính.
  Ví dụ: We have a set of linearly dependent vectors. (Chúng ta có một tập hợp các vectơ phụ thuộc tuyến tính.)
• Are linearly dependent: Phụ thuộc tuyến tính (là).
  Ví dụ: These columns are linearly dependent. (Các cột này phụ thuộc tuyến tính.)
• Proving linearly dependent: Chứng minh sự phụ thuộc tuyến tính.
  Ví dụ: Proving linearly dependent requires finding coefficients. (Chứng minh sự phụ thuộc tuyến tính đòi hỏi tìm các hệ số.)

4. Lưu ý khi sử dụng “linearly dependent”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Đại số tuyến tính: Sử dụng trong các bài toán liên quan đến vectơ, ma trận và không gian vectơ.
  Ví dụ: In linear algebra, linearly dependent vectors are common. (Trong đại số tuyến tính, các vectơ phụ thuộc tuyến tính là phổ biến.)
• Giải hệ phương trình tuyến tính: Xác định tính duy nhất của nghiệm.
  Ví dụ: If the columns of the matrix are linearly dependent, there are infinitely many solutions. (Nếu các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính, có vô số nghiệm.)

b. Phân biệt với từ đối nghĩa

• “Linearly dependent” vs “linearly independent”:
  – “Linearly dependent”: Tồn tại tổ hợp tuyến tính bằng 0 với các hệ số không đồng thời bằng 0.
  – “Linearly independent”: Tổ hợp tuyến tính bằng 0 chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0.
  Ví dụ: Linearly dependent vectors can be reduced. (Các vectơ phụ thuộc tuyến tính có thể được rút gọn.) / Linearly independent vectors span a space. (Các vectơ độc lập tuyến tính tạo ra một không gian.)

c. Sử dụng chính xác trong biểu diễn toán học

• Đảm bảo hiểu rõ định nghĩa toán học trước khi sử dụng cụm từ.
  Ví dụ: Correctly identifying linearly dependent vectors is crucial. (Việc xác định chính xác các vectơ phụ thuộc tuyến tính là rất quan trọng.)

5. Những lỗi cần tránh

1. Nhầm lẫn định nghĩa với linearly independent:
   – Sai: *Linearly dependent means no linear combination equals zero.*
   – Đúng: Linearly dependent means a non-trivial linear combination equals zero. (Phụ thuộc tuyến tính có nghĩa là một tổ hợp tuyến tính không tầm thường bằng không.)
2. Sử dụng không chính xác trong ngữ cảnh:
   – Sai: *The numbers are linearly dependent.* (Chỉ sử dụng cho vectơ hoặc ma trận.)
   – Đúng: The vectors are linearly dependent. (Các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Liên hệ với ví dụ cụ thể: “Vectơ này có thể biểu diễn qua các vectơ khác”.
• Sử dụng trong bài tập: Làm nhiều bài tập để quen với khái niệm.
• So sánh với “linearly independent”: Hiểu rõ sự khác biệt để tránh nhầm lẫn.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “linearly dependent” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The rows of this matrix are linearly dependent. (Các hàng của ma trận này phụ thuộc tuyến tính.)
2. Determine if the following vectors are linearly dependent. (Xác định xem các vectơ sau có phụ thuộc tuyến tính hay không.)
3. Linear dependence implies that one vector can be written as a linear combination of the others. (Sự phụ thuộc tuyến tính ngụ ý rằng một vectơ có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.)
4. We can show that these vectors are linearly dependent by finding a non-trivial solution. (Chúng ta có thể chứng minh rằng các vectơ này phụ thuộc tuyến tính bằng cách tìm một nghiệm không tầm thường.)
5. If the determinant of the matrix is zero, then the columns are linearly dependent. (Nếu định thức của ma trận bằng không, thì các cột phụ thuộc tuyến tính.)
6. The set of vectors is linearly dependent because one of them is the zero vector. (Tập hợp các vectơ phụ thuộc tuyến tính vì một trong số chúng là vectơ không.)
7. Check for linear dependence among the given set of equations. (Kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phương trình đã cho.)
8. These functions are linearly dependent on the interval. (Các hàm này phụ thuộc tuyến tính trên khoảng.)
9. The concept of linearly dependent vectors is fundamental in linear algebra. (Khái niệm về các vectơ phụ thuộc tuyến tính là cơ bản trong đại số tuyến tính.)
10. If two rows in a matrix are identical, then the rows are linearly dependent. (Nếu hai hàng trong một ma trận giống hệt nhau, thì các hàng đó phụ thuộc tuyến tính.)
11. Since the columns are linearly dependent, the matrix is singular. (Vì các cột phụ thuộc tuyến tính, ma trận là ma trận suy biến.)
12. The vectors v1, v2, and v3 are linearly dependent because v3 = 2v1 + v2. (Các vectơ v1, v2 và v3 phụ thuộc tuyến tính vì v3 = 2v1 + v2.)
13. Linear dependence can be used to simplify systems of equations. (Sự phụ thuộc tuyến tính có thể được sử dụng để đơn giản hóa các hệ phương trình.)
14. The null space of a matrix contains vectors that are linearly dependent. (Không gian hạt nhân của một ma trận chứa các vectơ phụ thuộc tuyến tính.)
15. Prove that these polynomials are linearly dependent. (Chứng minh rằng các đa thức này phụ thuộc tuyến tính.)
16. Linear dependence is an important property when analyzing vector spaces. (Sự phụ thuộc tuyến tính là một tính chất quan trọng khi phân tích các không gian vectơ.)
17. If the reduced row echelon form of a matrix has a row of zeros, then the rows of the original matrix are linearly dependent. (Nếu dạng bậc thang rút gọn của một ma trận có một hàng toàn số không, thì các hàng của ma trận ban đầu phụ thuộc tuyến tính.)
18. The rank of the matrix is less than the number of columns because the columns are linearly dependent. (Hạng của ma trận nhỏ hơn số cột vì các cột phụ thuộc tuyến tính.)
19. Identifying linearly dependent vectors is crucial for solving linear systems. (Xác định các vectơ phụ thuộc tuyến tính là rất quan trọng để giải các hệ tuyến tính.)
20. A set containing more vectors than the dimension of the vector space must be linearly dependent. (Một tập hợp chứa nhiều vectơ hơn số chiều của không gian vectơ phải phụ thuộc tuyến tính.)