Cách Sử Dụng Từ “Partial Derivative”

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cụm từ “partial derivative” – một khái niệm quan trọng trong giải tích nhiều biến, cùng các dạng liên quan. Bài viết cung cấp 20 ví dụ sử dụng chính xác về ngữ pháp và có nghĩa, cùng hướng dẫn chi tiết về ý nghĩa, cách dùng, bảng biến đổi từ vựng, và các lưu ý quan trọng.

Phần 1: Hướng dẫn sử dụng “partial derivative” và các lưu ý

1. Ý nghĩa cơ bản của “partial derivative”

“Partial derivative” là một cụm danh từ mang nghĩa chính:

• Đạo hàm riêng: Đo tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến theo một biến cụ thể, trong khi giữ các biến khác không đổi.

Dạng liên quan: “partially differentiate” (động từ – lấy đạo hàm riêng).

Ví dụ:

• Danh từ: The partial derivative of f with respect to x. (Đạo hàm riêng của f theo x.)
• Động từ: We can partially differentiate this equation. (Chúng ta có thể lấy đạo hàm riêng phương trình này.)

2. Cách sử dụng “partial derivative”

a. Là cụm danh từ

1. The partial derivative of + hàm + with respect to + biến
   Ví dụ: The partial derivative of z with respect to x. (Đạo hàm riêng của z theo x.)
2. Partial derivative + symbol (∂)
   Ví dụ: ∂f/∂x represents the partial derivative of f with respect to x. (∂f/∂x biểu diễn đạo hàm riêng của f theo x.)

b. Là động từ (partially differentiate)

1. Partially differentiate + hàm + with respect to + biến
   Ví dụ: Partially differentiate z with respect to y. (Lấy đạo hàm riêng của z theo y.)

c. Biến thể và cách dùng trong câu

Dạng từ	Từ	Ý nghĩa / Cách dùng	Ví dụ
Danh từ	partial derivative	Đạo hàm riêng	The partial derivative of f with respect to x. (Đạo hàm riêng của f theo x.)
Động từ	partially differentiate	Lấy đạo hàm riêng	Partially differentiate z with respect to y. (Lấy đạo hàm riêng của z theo y.)

3. Một số cụm từ thông dụng với “partial derivative”

• Second partial derivative: Đạo hàm riêng cấp hai.
  Ví dụ: The second partial derivative tells us about concavity. (Đạo hàm riêng cấp hai cho chúng ta biết về tính lõm.)
• Mixed partial derivative: Đạo hàm riêng hỗn hợp.
  Ví dụ: The mixed partial derivative involves taking the derivative with respect to different variables. (Đạo hàm riêng hỗn hợp bao gồm việc lấy đạo hàm theo các biến khác nhau.)

4. Lưu ý khi sử dụng “partial derivative”

a. Ngữ cảnh phù hợp

• Danh từ: Trong các bài toán giải tích nhiều biến, tìm cực trị hàm số.
  Ví dụ: Calculate the partial derivatives. (Tính các đạo hàm riêng.)
• Động từ: Khi thực hiện phép toán đạo hàm riêng.
  Ví dụ: We need to partially differentiate the function. (Chúng ta cần lấy đạo hàm riêng của hàm số.)

b. Phân biệt với từ đồng nghĩa

• “Partial derivative” vs “derivative”:
  – “Partial derivative”: Dùng cho hàm nhiều biến.
  – “Derivative”: Dùng cho hàm một biến.
  Ví dụ: Partial derivative of f(x,y). (Đạo hàm riêng của f(x,y).) / Derivative of f(x). (Đạo hàm của f(x).)

c. Công thức

• Ký hiệu: ∂f/∂x (đạo hàm riêng của f theo x).

5. Những lỗi cần tránh

1. Nhầm lẫn đạo hàm riêng với đạo hàm thông thường:
   – Sai: *Taking the derivative of f(x,y) with respect to x gives the same result as taking the partial derivative.*
   – Đúng: Taking the partial derivative of f(x,y) with respect to x is different from taking the derivative of f(x) with respect to x. (Lấy đạo hàm riêng của f(x,y) theo x khác với việc lấy đạo hàm của f(x) theo x.)
2. Sai ký hiệu:
   – Sai: *df/dx for a function of multiple variables.*
   – Đúng: ∂f/∂x for a function of multiple variables. (∂f/∂x cho một hàm nhiều biến.)

6. Mẹo để ghi nhớ và sử dụng hiệu quả

• Hình dung: “Partial” nghĩa là “một phần”, chỉ đạo hàm theo một biến khi các biến khác cố định.
• Thực hành: Tính đạo hàm riêng của các hàm số đơn giản.
• Liên hệ: Gắn liền với các bài toán tối ưu hóa.

Phần 2: Ví dụ sử dụng “partial derivative” và các dạng liên quan

Ví dụ minh họa

1. The partial derivative of z = x² + y² with respect to x is 2x. (Đạo hàm riêng của z = x² + y² theo x là 2x.)
2. We can partially differentiate f(x, y) = x³y² with respect to y. (Chúng ta có thể lấy đạo hàm riêng của f(x, y) = x³y² theo y.)
3. ∂f/∂x represents the rate of change of f with respect to x. (∂f/∂x biểu diễn tốc độ thay đổi của f theo x.)
4. Calculate the partial derivatives to find the critical points of the function. (Tính các đạo hàm riêng để tìm các điểm tới hạn của hàm số.)
5. The second partial derivative of f with respect to x twice is denoted as ∂²f/∂x². (Đạo hàm riêng cấp hai của f theo x hai lần được ký hiệu là ∂²f/∂x².)
6. Mixed partial derivatives are used to determine if a function satisfies Clairaut’s theorem. (Các đạo hàm riêng hỗn hợp được sử dụng để xác định xem một hàm số có thỏa mãn định lý Clairaut hay không.)
7. The partial derivative of pressure with respect to volume is important in thermodynamics. (Đạo hàm riêng của áp suất theo thể tích rất quan trọng trong nhiệt động lực học.)
8. To find the minimum value, set the partial derivatives equal to zero. (Để tìm giá trị nhỏ nhất, đặt các đạo hàm riêng bằng không.)
9. The partial derivative of cost with respect to quantity helps in economic analysis. (Đạo hàm riêng của chi phí theo số lượng giúp ích trong phân tích kinh tế.)
10. Partially differentiate the Lagrangian to find the optimal solution. (Lấy đạo hàm riêng của hàm Lagrange để tìm ra giải pháp tối ưu.)
11. The partial derivative of utility with respect to consumption is marginal utility. (Đạo hàm riêng của tiện ích theo tiêu dùng là tiện ích biên.)
12. The partial derivative of production with respect to labor is the marginal product of labor. (Đạo hàm riêng của sản xuất theo lao động là sản phẩm biên của lao động.)
13. The partial derivative of a vector field is a tensor field. (Đạo hàm riêng của một trường vector là một trường tensor.)
14. Compute the partial derivatives of this complicated function. (Tính các đạo hàm riêng của hàm phức tạp này.)
15. Understanding partial derivatives is crucial for multivariable calculus. (Hiểu đạo hàm riêng là rất quan trọng đối với giải tích nhiều biến.)
16. The partial derivative reveals the sensitivity of the output to a change in one input. (Đạo hàm riêng cho thấy độ nhạy của đầu ra đối với sự thay đổi của một đầu vào.)
17. Using partial derivatives, we can analyze the behavior of surfaces. (Sử dụng đạo hàm riêng, chúng ta có thể phân tích hành vi của các bề mặt.)
18. Partial derivatives are key to understanding gradient descent. (Đạo hàm riêng là chìa khóa để hiểu gradient descent.)
19. In physics, partial derivatives describe how fields change in space. (Trong vật lý, đạo hàm riêng mô tả cách các trường thay đổi trong không gian.)
20. The Jacobian matrix consists of partial derivatives. (Ma trận Jacobian bao gồm các đạo hàm riêng.)